Teoría de Grupos. Aplicación a la Mecánica Cuántica

En este libro se exponen los fundamentos de la teoría de los grupos finitos e infinitos; el uso de la teoría de las representaciones de grupos se ilustra tomando como ejemplo diversas aplicaciones y cuestiones referentes a la mecánica cuántica: teoría de los átomos, química cuántica, teoría del estado sólido y mecánica cuántica relativista. Asimismo, se analiza una serie de temas que en otras monografías o bien no se estudian o bien se exponen de forma muy superficial. Entre ellas destacan el análisis de la simetría de la función de onda de Schrödinger, la explicación de la degeneración "complementaria" en un campo de Coulomb, y ciertas cuestiones relacionadas con la teoría del estado sólido. Este libro está pensado principalmente para los estudiantes de física, y será de una gran utilidad para los estudiantes de doctorado y científicos ya formados, tanto físicos como químicos, que deseen estudiar la teoría de grupos para poderla utilizar como un instrumento más en sus investigaciones. Prólogo. 1 Introducción 1. Propiedades de simetría de los sistemas físicos 2. Definición de grupo 3. Ejemplos de grupos que se utilizan en la física 4. Condiciones de invariancia de las ecuaciones de movimiento. 2 Grupos abstractos 1. Desplazamiento en el grupo 2. Subgrupo 3. Orden de un elemento 4. Clases de equivalencia 5. Elementos conjugados. Clase 6. Subgrupo invariante (divisor normal) 7. Grupo cociente 8. Isomorfismo y homomorfismo de grupos. 3 Representaciones de grupos finitos 1. Definición de representación de un grupo 2. Ejemplos de representaciones 3. Representación del grupo de simetría de la ecuación de Schrödinger realizada en las funciones propias de la última 4. Existencia de una representación unitaria equivalente 5. Representaciones reducibles e irreducibles de un grupo 6. Primer lema de Schur 7. Segundo lema de Schur 8. Relación de ortogonalidad para los elementos matriciales de representaciones irreducibles 9. Carácter de una representación 10. Representación regular 11. Número de representaciones irreducibles 12. Cálculo de los caracteres de las representaciones irreducibles. 4 Composición de representaciones y producto directo de grupos 1. Producto directo de matrices 2. Composición de representaciones de un grupo 3. Producto directo de grupos 4. Representaciones irreducibles del producto directo de grupos. 5 Teorema de Wigner 1. Simetría de un sistema mecanocuántico respecto a un grupo de transformaciones 2. Simetría de un sistema de partículas que efectúan oscilaciones pequeñas 3. Teorema de Wigner. 6 Grupos puntuales 1. Elementos de los grupos puntuales 2. Clasificación de los grupos puntuales 3. Grupos puntuales y sus representaciones irreducibles 4. Clasificación de las oscilaciones normales y de los estados electrónicos de una molécula. 7 Descomposición de una representación reducible en irreducibles 1. Construcción de bases de las representaciones irreducibles 2. Determinación de los desplazamientos simetrizados de los núcleos de una molécula 3. Método de la combinación lineal de las órbitas atómicas. 8 Grupos espaciales y sus representaciones irreducibles 1. Subgrupo de traslaciones 2. Singonías 3. Elemento general de un grupo espacial 4. Representaciones irreducibles del grupo de traslaciones 5. Estrella de un vector k 6. Grupo de un vector k 7. Representaciones irreducibles de los grupos espaciales 8. Representaciones irreducibles del grupo de un vector k 9. Ejemplo 10. Representaciones irreducibles de los grupos espaciales que contienen traslaciones impropias. 9 Clasificación de los estados oscilatorios y electrónicos de un cristal 1. Clasificación de las oscilaciones normales 2. Clasificación de los estados electrónicos de un cristal 3. Aproximación monoelectrónica. 10 Grupos continuos 1. Grupos continuos de transformaciones lineales 2. Propiedades generales de los grupos de Lie 3. Transformaciones infinitesimales y leyes de conservación 4. Grupo de rotaciones bidimensionales O+(2) 5. Grupo de rotaciones tridimensionales O+(3). 11 Representaciones irreducibles del grupo de rotaciones tridimensionales 1. Matrices infinitesimales de las representaciones del grupo O+(3) 2. Representaciones irreducibles del grupo O+(3) 3. Representaciones bivaluadas 4. Descomposición de una representación arbitraria del grupo O+(3) en representaciones irreducibles 5. Representaciones irreducibles del grupo ortogonal O(3). 12 Propiedades de las representaciones irreducibles del grupo de rotaciones 1. Funciones esféricas como bases de las representaciones irreducibles del grupo O+(3) 2. Composición de las representaciones irreducibles del grupo O+(3) 3. Representaciones tensoriales y espinoriales del grupo de rotaciones 4. Representaciones complejo-conjugadas. 13 Ciertas aplicaciones de la teoría de las representaciones del grupo de rotaciones a los problemas mecanocuánticos 1. Partícula en un campo central. Momento angular orbital 2. Regla de adición de los momentos angulares 3. Espín 4. Teorema de Kramers 5. Teorema de Wigner-Eckart. 14 Degeneración complementaria de los niveles en ciertos campos con simetría esférica 1. Degeneración complementaria 2. Relación con la mecánica clásica 3. Grupo de simetría del átomo de hidrógeno 4. Grupo de simetría de un oscilador isótropo. 15 Grupo de permutaciones 1. Descripción mecanocuántica de un sistema de partículas idénticas 2. Grupo de permutaciones de n símbolos 3. Representaciones irreducibles del grupo Sn. 16 Potencias simetrizadas de las representaciones 1. Vectores y tensores en el espacio n-dimensional 2. Matrices de las permutaciones de índices tensoriales 3. Relación entre las representaciones de los grupos Sn y G realizadas en un espacio tensorial 4. Caracteres de las potencias simetrizadas de una representación. 17 Propiedades de simetría de las funciones de onda multielectrónicas 1. Planteamiento del problema 2. Propiedades de simetría de la función de onda de espín 3. Relación entre las simetrías de las funciones de onda espaciales y las de espín 4. Propiedades de simetría de las funciones de onda espaciales. 18 Propiedades de simetría de las funciones de onda de un sistema de partículas idénticas de espín arbitrario 1. Planteamiento del problema 2. Teorema de Frobenius 3. Concepto de s-tensor 4. Peso estadístico de un nivel de energía 5. Valores propios del operador espín total. 19 Clasificación de los estados de un átomo multielectrónico 1. Configuración 2. Términos 3. Correspondencia entre configuraciones y términos 4. Interacción espín-órbita. 20 Aplicación de la teoría de grupos en los problemas relacionados con la teoría de perturbaciones 1. Desdoblamiento de los niveles de energía bajo la influencia de una perturbación 2. Funciones regulares de la aproximación de orden cero 3. Átomo sometido a un campo magnético o eléctrico homogéneo 4. Átomo en un campo cristalino. 21 Reglas de selección 1. Formulación general de las reglas de selección 2. Reglas de selección para la absorción y emisión de la luz 3. Reglas de selección para el efecto Raman 4. Elementos matriciales construidos entre las funciones de una misma base 5. Teorema de Iahn-Teller. 22 Grupo de Lorentz y sus representaciones irreducibles 1. Grupo general de Lorentz 2. Relación entre el grupo de Lorentz y el grupo de rotaciones tetradimensionales 3. Relaciones de conmutación para las matrices infinitesimales 4. Representaciones irreducibles 5. Producto directo de las representaciones irreducibles del grupo de Lorentz. 23 Ecuación de Dirac 1. Ecuaciones invariantes relativistas 2. Ecuación de Dirac 3. Biespinor complejo-conjugado de Dirac 4. Forma cuadrática invariante. Apéndice. Indicaciones para la resolución de los problemas Bibliografía Índice de materias. --------------------------------------------------------------------------------